Question

抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点的距离相等，圆是以为圆心，同时与直线和相切的圆，
（Ⅰ）求定点的坐标；
（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：
①分别与直线和交于、两点，且中点为；
②被圆截得的弦长为2．

Answer 1

，不存在

（1）抛物线的准线的方程为
根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，
定点N的坐标为 
（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，
设的方程为，   以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，
方法1：被圆N截得的弦长为2，圆心到直线的距离等于1， 
即，解得，
当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！当时，的方程为 
由，解得点A坐标为，              
由，解得点B坐标为，
显然AB中点不是，矛盾！不存在满足条件的直线．
方法2：由，解得点A坐标为，由，解得点B坐标为，
AB中点为，，解得，   
的方程为，
圆心N到直线的距离，                 
被圆N截得的弦长为2，圆心到直线的距离等于1，矛盾！
不存在满足条件的直线．
方法3：假设A点的坐标为，
AB中点为，B点的坐标为，
又点B在直线上，，              
A点的坐标为，直线的斜率为4，
的方程为，
圆心N到直线的距离，                   
被圆N截得的弦长为2，圆心到直线的距离等于1，矛盾！
不存在满足条件的直线．