Question

已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域为[-8，8]且它们在[0，8]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

分析：由已知条件，结合奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以判断出函数y=f（x）与y=g（x）在区间[-8，8]中的符号，进而得到不等式f（x）•g（x）＜0的解集．

解答：解：由图象可得在区间（0，8）上，g（x）＜0恒成立，
又∵y=g（x）是奇函数，图象关于原点对称，
∴在区间（-8，0）上，g（x）＞0恒成立，
又∵在区间（0，2）上，f（x）＜0，在区间（2，8）上，f（x）＞0，
∵y=f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，
∴在区间（-8，-2）上，f（x）＞0，在区间（-2，0）上，f（x）＜0，
∵不等式f（x）•g（x）＜0，
∴f（x）与g（x）异号，
∴当x∈（-2，0）上，g（x）＞0，f（x）＜0，
当x∈（2，8）上，g（x）＜0，f（x）＞0，
∴不等式f（x）•g（x）＜0的解集为（-2，0）∪（2，8）．
故答案为：（-2，0）∪（2，8）．

点评：本题考查了抽象函数及其应用求解不等式的问题，综合考查了函数奇偶性和单调性的应用，要熟练掌握函数的性质的综合应用．对于偶函数，要注意运用偶函数在对称区间上单调性相反的性质，奇函数在对称区间上单调性相同．考查了数形结合的数学思想方法的运用．属于中档题．