Question

18．如图，动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B、C、D再回到A．用x表示P点经过的路程，y表示AP的长，则当1＜x＜2时，$\frac{y^2}{x}$的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-2
• D． 3$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 先求出y关于x的解析式，再根据基本不等式即可求出答案．

解答 解：当P在BC上时，即1＜x＜2，y=PA=$\sqrt{1+（x-1）^{2}}$；
则（x-1）²+1=y²，y＞1，
所以$\frac{{y}^{2}}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}+1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$-2=2$\sqrt{2}$-2，当且仅当x=$\sqrt{2}$时取等号，
所以$\frac{y^2}{x}$的最小值为2$\sqrt{2}$-2，
故选：C．

点评 本题的考点是函数解析式的求法以及函数的简单应用，以及基本不等式，属于基础题