Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的增区间是；

递减区间是；（3）.

【解析】试题分析：（1）求出的值可得切点坐标，再求出,可得的值，即得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（3）对于任意，都有等价于，令， ，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，从而可得结果.

试题解析：（1）因为函数，所以,

.又因为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）函数定义域为， 由（1）可知， .

令解得.

与在区间上的情况如下：

	减	极小值	增

所以， 的单调递增区间是；

的单调递减区间是.

（3）当时，“”等价于“”.

令， ，

， .

当时， ，所以在区间单调递减.

当时， ，所以在区间单调递增.

而，

.

所以在区间上的最大值为.

所以当时，对于任意，都有.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题（3）是利用方法 ① 求得实数的取值范围.