Question

【题目】在四棱锥中，底面是直角梯形， ， ， ，平面平面．

（Ⅰ）求证： 平面．

（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小．

（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）为的中点，

【解析】试题分析：

（Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；

（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面PAD的法向量．平面BCP的一个法向量，

利用向量的夹角公式，即可求得平面ADP和平面BCP所成的二面角；（Ⅲ）在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时，证明平面MNC∥平面PAD，可得∥平面PAD．

试题解析：

（Ⅰ）∵，

∴，

∵面面，面面， 面，

∴面．

（Ⅱ）取的中点，连接，

∵，∴，

∵面面，面 ， 面，

∴面，以为原点， 所在的直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

不妨设，由，

∴， ， ．

∴， ．

设平面的法向量为，

∵，

∴，

令，则， ．

∴．

取平面的一个法向量，

∴．

∴面和面的二面角（锐角）的大小为．

（Ⅲ）在棱上存在一点使得面，此时．

理由如下： 为的中点，

取的中点，连接， ， ，

则， ，

∵，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形．

∴，

∵， ，

∴面面，

∵面，

∴面．