Question

设a∈R，解关于x的不等式ax²+（1-2a）x-2＞0．

Answer 1

分析：利用ax²+（1-2a）x-2=（x-2）（ax+1），于是有（x-2）（ax+1）＞0，对a分类讨论，同时要注意比较根的大小，依次求解即可得到答案．

解答：解：∵关于x的不等式ax²+（1-2a）x-2＞0，
∴因式分解可形为（x-2）（ax+1）＞0，
①当a=0时，不等式即为x-2＞0，
故不等式的解为{x|x＞2}；
②当a＞0时，不等式即为（x-2）（x+

1

a

）＞0，
∵-

1

a

＜2，
故不等式的解为{x|x＜-

1

a

或x＞2}；
③当-

1

2

＜a＜0时，不等式即为（x-2）（x+

1

a

）＜0，
∵2＜-

1

a

，
故不等式的解为{x|2＜x＜-

1

a

}；
④当a=-

1

2

时，不等式即为（x-2）²＜0，
故不等式的解为∅；
⑤当a＜-

1

2

时，不等式即为（x-2）（x+

1

a

）＜0，
∵-

1

a

＜2，
故不等式的解为{x|-

1

a

＜x＜2}．
综上所述，当a=0时，不等式的解为{x|x＞2}，
当a＞0时，不等式的解为{x|x＜-

1

a

或x＞2}，
当-

1

2

＜a＜0时，不等式的解为{x|2＜x＜-

1

a

}，
当a=-

1

2

时，不等式的解为∅，
当a＜-

1

2

时，不等式的解为{x|-

1

a

＜x＜2}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法．求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集．属于基础题．如果方程的根的大小关系部确定，则需要进行分类讨论求解．属于中档题．