Question

在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC（k为常数，且0＜k＜1），BD=l为定长，则△ABC的面积最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，根据题意得到AD=kAB，两边平方得到关系式，利用勾股定理化简后表示出y²，变形后利用二次函数的性质求出y的最大值，进而确定出三角形ABD面积的最大值，根据AD=kAC即可得出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y＞0，
∵AB=AC，
∴AD=kAC=kAB，即AD²=k²AB²，
∴（x-l）²+y²=k²（x²+y²），
整理得：y²=

-(1-k2)x2+2lx-l2

1-k2

=

-(1-k2)(x- l 1-k2 )2+ k2l2 1-k2

1-k2

≤

k2l2

(1-k2)2

，
∴y_max=

kl

1-k2

，
∵BD=l，
∴（S_△ABD）_max=

kl2

2(1-k2)

，
则（S_△ABC）_max=

1

k

（S_△ABD）_max=

l2

2(1-k2)

．
故答案为：

l2

2(1-k2)

点评：此题考查了二次函数的性质，坐标与图形性质，弄清题意是解本题的关键．