Question

【题目】如图，以椭圆（）的右焦点为圆心，为半径作圆（其中为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点作此圆的切线，切点为.

（1）若，为椭圆的右顶点，求切线长；

（2）设圆与轴的右交点为，过点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，若恒成立，且.求：

（ⅰ）的取值范围；

（ⅱ）直线被圆所截得弦长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】

（1）利用求得，进而得到，利用勾股定理可求得切线长；

（2）（ⅰ）由恒成立可知；根据切线长的求解可知当最小时，最小，从而构造出不等式求得的范围；

（ⅱ）设直线方程，与椭圆方程联立后写出韦达定理的形式，同时利用韦达定理表示出，根据垂直关系可得，从而构造等式求得，得到直线方程；利用垂径定理可将所求弦长化为，采用换元法，可将等式右侧变为关于的函数的形式，结合二次函数的性质可求得函数的最大值，即为所求弦长的最大值.

（1）由得：

当为椭圆右顶点时，

又圆的半径为

（2）（ⅰ）当取得最小值时，取得最小值

，则，即

又，，解得：

即的取值范围为

（ⅱ）由题意得：，则直线

联立得：

设，，则，

，整理可得：

又 直线，即

圆心距离，又半径

直线被圆截得的弦长为

令，则，令

当，即时，

即直线被圆截得的弦长的最大值为