Question

17．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a²+b²-c²-ab=0，若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}c$，则ab的最小值为4．

Answer 1

分析 由条件利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，根据△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}c$，求得ab=2c，再利用余弦定理、基本不等式求得ab的最小值．

解答 解：△ABC中，∵a²+b²-c²-ab=0，∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$ab•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}c$，则ab=2c．
再由余弦定理可得c²=$\frac{{{a}^{2}b}^{2}}{4}$=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
求得ab≥4，当且仅当a=b时，取等号，故ab的最小值为4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．