题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围
（Ⅲ）记函数g（x）=x²f'（x），若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．

解：（Ⅰ）由题意得， $\text{[math]}$ ．由函数的定义域为x＞0，
∴f'（x）＞0?x＞ $\text{[math]}$ ，f'（x）＜0?0＜x＜ $\text{[math]}$ ．
∴函数的单调递减区间为（0， $\text{[math]}$ ），单调递增区间为（ $\text{[math]}$ ，+∞）
（Ⅱ） $\text{[math]}$
函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
∴ $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上恒成立
令 $\text{[math]}$ ，x∈[1，+∞），则问题等价于a≥h（x）_max
∵ $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上单调递减
∴h（x）_max=h（1）=0，∴a≥0
（Ⅲ）g（x）=x²f'（x）=2x³+ax-2，g′（x）=6x²+a
①a≥0，g，（x）=6x²+a＞0恒成立，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）没有最小值．
②a＜0，g^，（x）=6x²+a=0，∴ $\text{[math]}$
∴函数在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增
∴g（x）在 $\text{[math]}$ 处取得最小值
∴ $\text{[math]}$ ，∴a=-6
∴ $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）把a=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间；
（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，利用分离参数法可得 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上恒成立，求右边函数的最大值，即可求出实数a的取值范围；
（Ⅲ）g（x）=x²f'（x）=2x³+ax-2，g′（x）=6x²+a，分类讨论求出函数的最小值点．利用g（x）的最小值是-6，可求函数f（x）的解析式．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的最值，考查学生等价转化问题的能力．