Question

10．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，sinβ=-$\frac{5}{13}$．
（1）求△AOB的面积；
（2）求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意设出$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，利用向量法则根据$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$表示出$\overrightarrow{AB}$，利用向量模的定义列出关系式，整理后利用两角和与差的余弦函数公式即可求出cos（α-β）的值，由α与β的范围求出α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β），由三角形面积公式即可得解．
（2）可先求cosβ的值，所求式子变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）根据题意设$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（cosβ-cosα，sinβ-sinα），
∴|$\overrightarrow{AB}$|²=（cosβ-cosα）²+（sinβ-sinα）²=$\frac{4}{5}$，即2-2（cosβcosα+sinβsinα）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα=$\frac{3}{5}$；
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，
∴0＜α-β＜π，
∴sin∠AOB=sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sin∠AOB=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$．
（2）∵sinβ=-$\frac{5}{13}$，
∴cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，
则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=$\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{33}{65}$．

点评 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，考查了平面向量的运算，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．