Question

已知函数m（x）=2ax²，，且函数h（x）在时取极大值，若f（x）=h（x）+m（x）
（1）当时，求函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）令g（x）=ln（x+1）+3-f'（x），若g（x）在上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数求导可得：h′（x）=-2x²+b
∵函数h（x）在时取极大值，
∴
∴b=3
∴
∴f（x）=h（x）+m（x）=
当时，f（x）=
∴f′（x）=-（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，-2≤x≤2，可得-1＜x＜；令f′（x）＜0，-2≤x≤2，可得＜x≤2或-2≤x＜-1；
∴当x=-1时，f（x）极小值，当时，f（x）取极大值（6分）
而
∴在[-2，2]上，当x=-1时，；当时，（7分）
（2）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+3-（-2x²+3+4ax）=ln（x+1）+2x²-4ax
求导函数，可得（8分）
在上，x+1＞0
∵g（x）在单调递增．
∴g′（x）＞0，∴，即
∴
∵在上，
∴a≤0
∴实数a的取值范围a≤0
分析：（1）根据函数h（x）在时取极大值，可求得，从而可得当时，f（x）=，求导函数，确定函数的单调性，求出函数的极值与端点函数值比较，即可得到函数的最大值和最小值；
（2）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+3-（-2x²+3+4ax）=ln（x+1）+2x²-4ax，求导函数，利用g（x）在单调递增，可得，根据在上，，即可求得实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值与最值，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，属于中档题．