Question

已知函数f（x）=

2 π |x+π|， x＜- π 2 -sinx， - π 2 ≤x≤0 1 3 x2- 2 3 x， x＞0

，若关于x的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则β-sin(

π

3

+α)的值为

5

2

．

Answer 1

分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最大根β与最小根α，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．

解答：解：函数f（x）=

2 π |x+π|， x＜- π 2 -sinx， - π 2 ≤x≤0 1 3 x2- 2 3 x， x＞0

的图象如下图所示：

可得函数f（x）的单调减区间为（-∞，-π）和（-

π

2

，1）；
单调增区间为（-π，-

π

2

）和（1，+∞），
f（x）的极大值为f（-

π

2

）=1，极小值为f（1）=-

1

3

和f（-π）=0
将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，
相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．
令f（x）=1，得x₁=-

3π

2

，x₂=-

π

2

，x₃=3，所以β=3，α=-

3π

2

，
∴β-sin（

π

3

+α）=3-•sin（-

7π

6

）=3-

1

2

=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．