Question

已知函数m（x）=2ax²，h(x)=-

2

3

x3+bx，且函数h（x）在x=

6

2

时取极大值，若f（x）=h（x）+m（x）
（1）当a=

1

4

时，求函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）令g（x）=ln（x+1）+3-f'（x），若g（x）在(-

1

2

，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数h（x）在x=

6

2

时取极大值，可求得h(x)=-

2

3

x3+3x，从而可得当a=

1

4

时，f（x）=-

2

3

x3+

1

2

x2+3x，求导函数，确定函数的单调性，求出函数的极值与端点函数值比较，即可得到函数的最大值和最小值；
（2）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+3-（-2x²+3+4ax）=ln（x+1）+2x²-4ax，求导函数，利用g（x）在(-

1

2

，+∞)单调递增，可得a＜

1

4

(

1

x+1

+4x)，根据在(-

1

2

，+∞)上，

1

4

(

1

x+1

+4x)＞0，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数h(x)=-

2

3

x3+bx求导可得：h′（x）=-2x²+b
∵函数h（x）在x=

6

2

时取极大值，
∴h′(

6

2

)=-2×

6

4

+b=0
∴b=3
∴h(x)=-

2

3

x3+3x
∴f（x）=h（x）+m（x）=-

2

3

x3+3x+2ax2
当a=

1

4

时，f（x）=-

2

3

x3+

1

2

x2+3x
∴f′（x）=-（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，-2≤x≤2，可得-1＜x＜

3

2

；令f′（x）＜0，-2≤x≤2，可得

3

2

＜x≤2或-2≤x＜-1；
∴当x=-1时，f（x）极小值，当x=

3

2

时，f（x）取极大值（6分）
而f(-2)=

4

3

f(2)=

8

3

∴在[-2，2]上，当x=-1时，f(x)min=-

11

6

；当x=

3

2

时，f(x)max=

27

8

（7分）
（2）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+3-（-2x²+3+4ax）=ln（x+1）+2x²-4ax
求导函数，可得g′(x)=

1

x+1

+4x-4a（8分）
在(-

1

2

，+∞)上，x+1＞0
∵g（x）在(-

1

2

，+∞)单调递增．
∴g′（x）＞0，∴

1

x+1

+4x-4a＞0，即4a＜

1

x+1

+4x
∴a＜

1

4

(

1

x+1

+4x)
∵在(-

1

2

，+∞)上，

1

4

(

1

x+1

+4x)＞0
∴a≤0
∴实数a的取值范围a≤0

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值与最值，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，属于中档题．