题目内容

如图，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C是菱形， $数学公式$ ，E、F分别是A₁C₁、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB₁C₁C；（2）平面CEF⊥平面ABC．

证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，
在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，
所以FM $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
因为E为A₁C₁的中点，AC $\text{[math]}$ ，
所以EF∥EC₁，又FM∥A₁C₁从而四边形EFMC₁为平行四边形，
所以EF∥C₁M，又因为C₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C内，作A₁O⊥AC，O为垂足，
因为∠A₁AC=60°，所以AO= $\text{[math]}$ AA₁= $\text{[math]}$ AC，
从而O为AC的中点．
所以OC $\text{[math]}$ A₁E，因而EC $\text{[math]}$ A₁O₁，
因为侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，交线为AC，
A₁O⊥AC，所以A₁O⊥底面ABC．
所以EC⊥底面ABC，
又因为EC?平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．
分析：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，推出四边形EFMC₁为平行四边形，然后证明EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C内，作A₁O⊥AC，O为垂足，证明OC $\text{[math]}$ A₁E，得到EC $\text{[math]}$ A₁O₁，证明A₁O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．
点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力．