Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁C₁C是菱形，∠ACC₁=60°，侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，A₁B=AB=AC=1．
求证：（1）AA₁⊥BC₁；
（2）求点A₁到平面ABC的距离．

Answer 1

（1）证明：设AA₁中点为D，连BD，CD，C₁D，AC₁．
因为A₁B=AB，，所以BD⊥AA₁．--------------------------2分
因为侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，所以BD⊥面AA₁C₁C．----------4分
又△ACC₁为正三角形，AC₁=C₁A₁，所以C₁D⊥AA₁．------6分
所以AA₁⊥面BDC₁，
所以AA₁⊥BC₁．----------------------------8分
（2）解：由（1），有BD⊥C₁D，BC₁⊥CC₁，CC₁⊥面C₁DB
设点A₁到平面ABC的距离为h，则=．
因为，CC₁=1
∴=，
∵，
∴
∵AB=AC=1，
∴
∴．
即点A₁到平面ABC的距离为．----14分
分析：（1）要证AA₁⊥BC₁．只需证AA₁⊥面BDC₁，只需证AA₁垂直于面BDC₁内的两条相交直线，设AA₁中点为D，根据A₁B=AB，，可得BD⊥AA₁，利用侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，可得BD⊥面AA₁C₁C．根据△ACC₁为正三角形，AC₁=C₁A₁，可得C₁D⊥AA₁，从而得证；
（2）由（1），有BD⊥C₁D，BC₁⊥CC₁，CC₁⊥面C₁DB，设点A₁到平面ABC的距离为h，利用等面积有=，从而可求点A₁到平面ABC的距离．
点评：本题以三棱柱为载体，考查线面垂直的判定与性质，考查点面距离的求法，解题的关键是转换底面，利用体积相等求解．