Question

已知函数．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最大值；
（2）函数f（x）的值域恰为，试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合．

Answer 1

解：（1）时等号成立（4分）
即当x=1∈[0，2]时f（x）的最大值为（6分）
（2）假设存在这样的自然数a满足条件，
由（1）知当x=1时，y_max=则1∈[0，a]；所以a≥1（18分）
又f（x）在[0，1]上单增，在[1，a]上单减；且f（0）=
所以只需（11分）
解得0≤a≤3
又a≥1且a为自然数，所以a构成的集合为{1，2，3}．（13分）
分析：（1）将函数适当化简，转化成可利用基本不等式的形式，进而利用基本不等式可求函数f（x）的最大值；
（2）首先确定a≥1，进而根据f（x）在[0，1]上单增，在[1，a]上单减，求出a的范围即可．
点评：本题考查函数的定义域，函数的值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．