Question

设函数f(x)＝3ax²－2(a＋c)x，(a＞0，a，c∈R)．

(1)设a＞c＞0，若f(x)＞c²－2c＋a，对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；

(2)函数f(x)在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？为什么？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴， 　　由条件a＞c＞0，得2a＞a＋c故　　2分 　　即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线的开口向上， 　　故f(x)在[1，＋∞)是增函数　　4分 　　若f(x)＞c2－2c＋a，对x∈[1，＋∞)恒成立， 　　则f(x)min＝f(1)＞c2－2c＋a， 　　即a－c＞c2－2c＋a，得c2－c＜0，∴0＜c＜1．　　6分 　　(Ⅱ)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)＜0，即c＜0，或a＜c， 　　二次函数f(x)在(0，1)只有一个零点　　8分 　　②f(0)＝c＞0，f(1)＝a－c＞0，即a＞c＞0，因为 　　二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c图象的对称轴是． 　　而　　10分 　　所以函数f(x)在区间内分别有一零点． 　　故函数f(x)在区间(0，1)内有两个零点　　12分