Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=ex+ax2 ， g（x）是f（x）的导函数，
（1）当a＞0时，求证：存在唯一的x0∈（﹣ ，0），使得g（x0）=0；
（2）若存在实数a，b，使得f（x）≥b恒成立，求a﹣b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵g（x）=f′（x）=ex+2ax，g′（x）=ex+2a，

当a＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（﹣∞，+∞）上的单调递增，

又g（﹣ ）= ﹣1＜0，g（0）=1＞0，

∴存在唯一的x0∈（﹣ ，0），使得g（x0）=0；

（2）解：①当a＜0时，则当x＜0时，g（x）＞0，

即函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，这与f（x）≥b矛盾；

②当a=0，由ex≥b，得b≤0，∴a﹣b≥0；

③当a＞0，由（Ⅰ）知当x∈（﹣∞，x0）时，g（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0；

即f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

∴f（x）的最小值为f（x0），

其中x0满足 +2ax0=0，故a=﹣ 且x0＜0，

∵f（x）≥b恒成立，∴b≤f（x0），

即﹣b≥﹣ ﹣ax02，于是a﹣b≥﹣ ﹣ax02=﹣ （1+ ﹣ ），

记h（x）=﹣ex（1+ ﹣ ），x＜0，

则h′（x）= ex（x﹣1）2（x+1），

由h′（x）＜0得x＜﹣1，即函数h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调时递减，

由h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，即函数h（x）在（﹣1，0）上单调递增，

∴h（x）min=h（﹣1）=﹣ ，

综上得a﹣b的最小值为﹣ ，此时x0=﹣1．

【解析】（1）求函数的导数，利用函数零点的判定定理进行判断即可．（2）利用不等式恒成立，转化为求函数的最值，求函数的导数，判断函数的单调性求函数的最值进行求解．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．