Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=2（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，其上一点P，若∠F₁PF₂=θ，
（1）证明：三角形SF1PF2=b2cot

θ

2

；
（2）若双曲线的离心率为2，斜率为1的直线与双曲线交于B、D两点，BD的中点M（1，3），双曲线的右顶点为A，右焦点为F，若过A、B、D三点的圆与x轴相切，请求解双曲线方程和

DF

•

BF

的值．

Answer 1

分析：（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncosθ=4a²+2mn（1-cosθ），所以mn=

4c2-4a2

2(1-cosθ)

=

2b2

1-cosθ

，再由正弦定理能证明S△F1PF2=b2cot

θ

2

．
（2）因为双曲线的离心率为2，所以双曲线方程为：3x²-y²=3a²，由题设知l的方程为：y=x+2，A（a，0），F（2a，0），联立方程得2x²-4x-4-3a²=0，x₁+x₂=2，x1•x2=-

4+3a2

2

＜0，由此入手能够求出|

DF

|•|

BF

|的值．

解答：（1）证明：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得
（2c）²=m²+n²-2mncosθ
=（m-n）²+2mn-2mncosθ
=4a²+2mn（1-cosθ），
∴mn=

4c2-4a2

2(1-cosθ)

=

2b2

1-cosθ

，
由正弦定理S△F1PF2=

1

2

mnsinθ=

b2sinθ

1-cosθ

=b2cot

θ

2

．…（5分）
（2）解：因为双曲线的离心率为2，
所以双曲线方程为：3x²-y²=3a²，
由题设知l的方程为：y=x+2，A（a，0），F（2a，0），
联立方程得2x²-4x-4-3a²=0，
x₁+x₂=2，x1•x2=-

4+3a2

2

＜0，
若过A、B、D三点的圆与x轴相切，
假定BD为圆的直径，那么BD=2MA，就可以求出a=1，
如果假设不成立，a就无实数解．
因为，不在一条直线的三个点只有一个圆
则BD=

2

×

48+24a2

2

=2

6+3a2

=2MA，
∴6+3a²=（a-1）²+9，
∴a=1，
∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1．…（8分）
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a，
则|BF|=

(x1-2a)2+y12

=

(x1-2a)2+3x12-3a2

=a-2x₁，
|FD|=

(x2-2a)2+y22

=

(x2-2a)2+3x22-3a2

=2x₂-a，
∴|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）
=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²
=5a²+4a+8
=17，
∴|

DF

|•|

BF

|=17．…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．