Question

8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1的右焦点为F，点A、B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 设k_OB=-$\frac{b}{a}$，利用AB⊥OB，可得k_AB=$\frac{a}{b}$，再求出A，B的坐标，可得k_AB=$\frac{3b}{a}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，设k_OB=-$\frac{b}{a}$，
∵AB⊥OB，
∴k_AB=$\frac{a}{b}$，
直线FB的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），
与y=-$\frac{b}{a}$x联立可得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$）
∵A（c，$\frac{bc}{a}$），
∴k_AB=$\frac{3b}{a}$=$\frac{a}{b}$，
∴b²=$\frac{1}{3}$a²，
∴c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．