Question

已知由实数组成的集合A满足：若x∈A，则

1

1-x

∈A，
（1）设A中含有3个元素，且2∈A，求A；
（2）A能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据集合A的元素的性质知，x与

1

1-x

都在集合A中，故由2∈A，在利用

1

1-x

进行求解，直到求出三个元素为止，用列举法表示出来；
（2）由x与

1

1-x

都在集合A中，再由集合A只含有一个元素得，故假设a∈A时，有a=

1

1-a

进行求解，若有解则存在，若无解则不存在．

解答：解：（1）∵2∈A，∴

1

1-2

∈A，即-1∈A，
∴

1

1-(-1)

∈A，即

1

2

∈A，
∴A={2，-1，

1

2

}，
（2）假设A中仅含一个元素，不妨设为a，则a∈A，有

1

1-a

∈A，又A中只有一个元素，
∴a=

1

1-a

，即a²-a+1=0，但此方程△＜0，即方程无实数根，
∴不存在这样的实数a、故A不可能是单元素集合．

点评：本题考查了元素与集合的关系，主要根据集合元素的特征进行求解，对于存在型的问题，需要先假设存在有条件列出方程进行求解说明，考查了逻辑思维能力．