Question

已知由实数组成的集合A满足条件：若x∈A，则必有∈A.

    （1）设A中恰有三个元素，且2是其中的一个，求这时的集合A；

    （2）有人断定集合A中的元素可以有且仅有一个，请你作出判断，看他的断言是否正确，为什么？

    （3）若集合A≠Ф，试证集合A中的元素个数必为3的整数倍，并给出除（1）中以外的一个集合A来．

   

Answer 1

（1）A={-1，2，}（2）不可能（3）、和

解析:

[解答]（1）依题意，2∈A，∴∈A，从而∈A，

    此时，∴A={-1，2，}；

    （2）A不可能是只有一个元素的集合，否则由x=，得x²-x+1=0，这不可能；

    （3）设不等于零的a∈A，则∈A，∴∈A，故而，

    由于A≠Ф，且A中元素不会为1个，∴再只需证得A中元素不会为2个即可；

    事实上，若a∈A，则∈A，∴必有a=，此时，a²-a+1=0，

    同样不可能；这即证得集合A中的元素有、与这3个，

    若，且，同样可得、和也都在A中，

    当时可知这时A中的元素有6个，…，

    故知A中的元素个数必为3的整数倍