Question

6．设锐角△ABC的外接圆为圆Γ，过点B，C作圆Γ的两条切线交于点P，链接AP与BC交于点D，点E，F分别在边AC，AB上，使得DE∥BA，DF∥CA．证明：F，B，C，E四点共圆．

Answer 1

分析 欲证明F，B，C，E四点共圆，只要证明AF•AB=AE•AC，进而转化为证明$\frac{BD}{CD}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$．

解答 证明：欲证明F，B，C，E四点共圆，只要证明AF•AB=AE•AC．
∵DE∥BA，DF∥CA，
∴AF=DE=AB$•\frac{CD}{BC}$，AE=DF=AC•$\frac{BD}{BC}$，
于是只要证明$\frac{BD}{CD}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$．
注意到∠ABP=180°-∠ACB，∠ACP=180°-∠ABC，
则$\frac{BD}{CD}$=$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•BP•sin∠ABP}{\frac{1}{2}AC•CP•sin∠ACP}$=$\frac{ABsin（180°-∠ACB）}{ACsin（180°-∠ABC）}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$．得证，
∴F，B，C，E四点共圆．

点评 本题考查四点共圆的证明，考查三角形面积的计算，正确转化是关键．