Question

18．曲线y=$\frac{1}{x}$在点（a，$\frac{1}{a}$）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 和a的取值有关

Answer 1

分析 求出函数的导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得x，y轴的截距，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意，y=$\frac{1}{x}$的导数为y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得在点（a，$\frac{1}{a}$）处的切线斜率为-$\frac{1}{{a}^{2}}$，
即有切线的方程为y-$\frac{1}{a}$=-$\frac{1}{{a}^{2}}$（x-a）．
令x=0，可得y轴上的截距为$\frac{2}{a}$；
y=0可得x轴上的截距为2a．
即有围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×2a×$\frac{2}{a}$=2．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．