Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．与直线x=a交于点P，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出b，通过离心率以及a、b、c关系，求出a，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）求出A设出B，得到直线方程，求出P的坐标，计算下来的数量积，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b=1，∴a²=2，b²=1，∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由（1）可知点$A（-\sqrt{2}，0）$，设B（x₀，y₀），则$l：y=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）$．…（6分）
令$x=\sqrt{2}$，解得$y=\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，即$P（\sqrt{2}，\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}）$，…（8分）
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=（{x_0}，{y_0}）•（\sqrt{2}，\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}）=\frac{{\sqrt{2}（{x_0}^2+2{y_0}^2）+2{x_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，…（10分）
又∵B（x₀，y₀）在椭圆上，则${x_0}^2+2{y_0}^2=2$，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=2$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，向量在椭圆中的应用，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．