题目内容

已知f（xn）=lnx，则f（2）的值为（　　）
分析：令t=xn，可得x=
nt
，可得 f（t）=ln
nt
=
1
n
lnt，由此求得f（2）的值．
解答：解：令t=xn，则 x=
nt
，∴f（t）=ln
nt
=
1
n
lnt，则f（2）=
1
n
ln2，
故选B．
点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
1
2
x2+ln x-1．
（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=
2
3
x3的图象的下方；
（3）求证：[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2 （n∈N*）．
已知函数f（x）=ex•（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}，记an=f（xn）（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）设cn=ln|an|，求c1+c2+c3+…+cn；
（Ⅲ）若bn=
(-1)n+1(n+1)an
，试比较bn+1与bn的大小．
（2012•江西模拟）已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)+f(x1)，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
已知函数fn（x）=1+x+x2+…+xn（n∈N*）．
（1）当n=1，2，3时，分别求函数fn（x）的单调区间；
（2）当n=2时，关于x的方程ln(x+1)=-
5
2
x+m+f(x)-1在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数n，不等式ln
n+1
n
＜
n+1
n2
都成立．
已知函数f（x）=x3（x＞0），点An（n，yn），An+1（n+1，yn+1）在函数f（x）的图象上（n∈N*）过点An，An+1的切线分别为Ln，Ln+1，Ln与Ln+1的交点的横坐标为xn．设an=
3
2(2n-1)
(xn-1)，则
lim
n→∞
a1+a2+…+an
n
=（　　）

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