Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+ln x-1．
（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³的图象的下方；
（3）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2 （n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），在区间[1，e]上大于零得出函数为增函数，算出1和e的函数值即可得到函数的最值；
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+lnx-1-

2

3

x³，求出其导函数讨论当x＞1时函数的增减性从而得到f（x）＜g（x）得证；
（3）当n=1时显然成立，当n≥2时，利用基本不等式得证即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=x+

1

x

，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，e]上为增函数、
∴f（x）_max=f（e）=

1

2

e²，f（x）_min=f（1）=-

1

2

、
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+lnx-1-

2

3

x³，
则F′（x）=x+

1

x

-2x²=

x2+1-2x3

x

=

(1-x)(x+1+2x2)

x

∵当x＞1，时F′（x）＜0，
∴函数F（x）在区间（1，+∞）上为减函数，
∴F（x）＜F（1）=

1

2

-1-

2

3

＜0，
即在（1，+∞）上，f（x）＜g（x）、
∴在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³的图象的下方、
（3）证明：∵f′（x）=x+

1

x

，当n=1时，不等式显然成立
当n≥2时，利用基本不等式得：
[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=（x+

1

x

）ⁿ-（xn+ 

1

xn

）≥2ⁿ-2（当且仅当x=1时“=”成立）
∴当n≥2时，不等式成立、
综上所述得[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2，（n∈N^*）

点评：考查学生利用导数求闭区间上函数的最值的能力，以及进行不等式的证明的能力．