Question

对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.

(1) 判断函数是否为 “()型函数”，并说明理由；

(2) 若函数是“()型函数”，求出满足条件的一组实数对；

(3)已知函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，，若当时,都有,试求的取值范围.

 

Answer 1

（1）不是“型函数”，理由详见解析；（2）（满足的实数对均是正确答案）；（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）根据条件中的描述，若是“型函数”，则需存在实数，使得对于任意都成立，即，对任意都成立，这显然是不可能的，因此假设不成立，即不是“型函数”；（2）根据条件描述，是“型函数”需存在实数对，使得对于任意都成立，即对任意均成立，故所取的实数对只需满足等式即可，例如；

（3）根据是“型函数”可知：,即，而当时,,故当时，若有，必有当时，，因此要使当时,都有即等价于当时，恒成立，因此可以得到不等式

在上恒成立，若：显然不等式在上成立，若：参变分离后可转化为转化为，显然，当时，不等式（1）成立，而要使不等式（2）成立，

只需，通过构造函数令及，可知在上单调递增，故，因此只需即可从而得到实数的取值范围是.

试题解析：（1）假设是“()型函数”，则由题意存在实数对，使得对于任意都成立，即，对任意都成立，这显然是不可能的，因此假设不成立，即不是型函数；

(2)由题意，若是“()型函数”，则,即,对任意都成立，故所求实数对只需满足即可,如等；

(3) 由题意得:,即，而当时,, 故由题意可得，要使当时,都有，只需使当时，恒成立即可，即

在上恒成立，若：显然不等式在上成立，若：则可将不等式转化为，因此只需上述不等式组在上恒成立，显然，当时，不等式（1）成立，令，则，∴在上单调递增，∴，故要使不等式（2）恒成立，只需即可，综上所述,所求的取值范围是.

考点：1.新定义问题；2.恒成立问题的处理方法.