Question

【题目】已知二次函数的对称轴为，.

（1）求函数的最小值及取得最小值时的值；

（2）试确定的取值范围，使至少有一个实根；

（3）若，存在实数，对任意，使恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），此时；（2）的取值范围为；（3）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）利用基本不等式易得，此时.（2）至少有一个实根，即与的图象在上至少有一个交点，由题意，可得，，则需即可；（3）由题意，可得，则，

由已知存在实数，对任意，使恒成立.即.令∴，转化为存在，使成立.令，的对称轴为，分类讨论，即可得到实数的取值范围

试题解析：（1）∵，∴，

∴，当且仅当，即时“=”成立，即，此时.

（2）的对称轴为，∴，∴，

至少有一个实根，∴至少有一个实根，

即与的图象在上至少有一个交点，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范围为.

（3），∴，

由已知存在实数，对任意，使恒成立.

∴.

令，∴，即，

转化为存在，使成立.

令，∴的对称轴为，

∵，∴.

①当，即时，

，

∴，∴.

②当，即时，

，

∴，∴，∴.

综上，实数的取值范围为.