Question

（2012•泰安一模）在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2

3

，E、G分别为PC、PA的中点．
（I）求证：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由题意可证BC⊥平面PAB，从而证得PA⊥BC，又Rt△PAB为等腰直角三角形，故BG⊥PA，从而得PA⊥平面BCG，结论可证；
（2）以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系，可求得E点，N点的坐标，从而得

BE

=（0，

3

2

，1），

PN

=（x₀，

3

-

3

2

x₀，-2），由空间向量的坐标运算

BE

•

PN

=0即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PB，
又AB⊥BC，AB∩BP=B，
∴BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．①
又AB=PB=2，△PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点，
∴BG⊥PA，②又BG∩BC=B，
∴PA⊥平面BCG，PA?平面PAC，
∴平面BCG⊥平面PAC；
（Ⅱ）以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2

3

，0），P（0，0，2），E（0，

3

，1），
设存在点N∈AC，使PN⊥BE，点N的坐标设为：N（x₀，y₀，0）
则：得

BE

=（0，

3

，1），

PN

=（x₀，y₀，-2）
由相似三角形得：

2-x0

|AB|

=

y0

|BC|

，即

2-x0

2

=

y0

2 3

，
∴y₀=2

3

-

3

x₀．
∴

PN

=（x₀，2

3

-

3

x₀，-2）
又PN⊥BE，
∴

BE

•

PN

=0．
∴0×x₀+

3

×（2

3

-

3

x₀）+1×（-2）=0，
∴x₀=

4

3

∈[0，2]
故存在点N∈AC，使PN⊥BE．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间中直线与直线之间的位置关系，突出考查向量法的应用，属于中档题．