Question

若数列{a_n}满足a1=0，an+1=an+1+2

1+an

(n∈N*)，则a_n=

n²-1

．

Answer 1

分析：将递推公式两边加1，开方构造出

an+1+1

=

an+1

+1，求出等差数列的通项公式后，易求a_n．

解答：解：an+1=an+1+2

1+an

(n∈N*)，
两边加1得an+1+1=an+1+2

1+an

+1=（

an+1

+1）²，
两边开方得，

an+1+1

=

an+1

+1，
所以数列{

an+1

}为等差数列，公差为1，首项

a1+1

=1，
数列{

an+1

}的通项公式为

an+1

=1+（n-1）×1=n．
两边平方得a_n+1=n²，所以a_n=n²-1．
故答案为：n²-1．

点评：本题考查数列通项求解，等差数列的判定．考查变形构造，转化、计算能力．