Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=-16，a₂=-4，等比数列{b_n}中b₃=a₃，b₅=a₅，b_n＞0．
（1）求数列{b_n}的通项b_n．
（2）若数列{c_n}满足

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=3-

n+2

2n

（n∈N^*），求数列{c_n}的通项c_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等比数列的通项公式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用条件求等差数列的公差，再由通项公式和条件列出方程组，求等比数列的首项和公比，再代入通项公式化简即可，注意题意中的条件；
（2）根据给出的式子，令n=n-1代入得到另外一个式子，再两式作差化简，利用（1）的结果求出c_n，必须验证n=1时是否符合，再表示出c_n的表达式．

解答： 解：（1）设等差数列{ a_n}的公差为d，等比数列{ b_n}的公比为q，
∵a₁=-16，a₂=-4，
∴d=a₂-a₁=12，
又∵b₃=a₃，b₅=a₅，
∴

b1q2=8 b1q4=32

，
∵b_n＞0，∴q=2，b₁=2，
则

bn=b1qn-1=2n

；
（2）∵

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=3-

n+2

2n

（n∈N^*）    ①，
∴当n≥2时，有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn-1

bn-1

=3-

n+1

2n-1

    ②，
①-②得，

cn

bn

=(3-

n+2

2n

)-(3-

n+1

2n-1

)=

n

2n

，
由（1）得，

bn=2n

，∴c_n=n，
当n=1时，

c1

b1

=3-

1+2

2

=

3

2

，由b₁=2得，c₁=3，故不符合上式，
综上得，

cn= 3 ，n=1 n ，n≥2

．

点评：本题考查了等差（等比）数列的通项公式，基本量的运算，以及数列的前n项和与通项的关系的应用，注意必须验证n=1时是否成立，这是易忘的地方．