Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF=3．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）求直线AB与平面BEF所成的角的正弦值；
（3）线段BD上是否存在点M，使得AM∥平面BEF？若存在，试确定点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由DE⊥平面ABCD，ABCD是正方形，能够证明AC⊥平面BDE．
（2）以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AB与平面BEF所成的角的正弦值．
（3）点M是线段BD上一个点，设M（t，t，0），由AM∥平面BEF，

AM

•

n

=0，能求出点M坐标．

解答： （1）证明：∵DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC．…2分
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又BD∩DE=D
从而AC⊥平面BDE．…4分
（2）解：∵DA，DC，DE两两垂直，
∴以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
∵DE=3，由AF∥DE，DE=3AF=3
得AF=1．…6分
则A（2，0，0），F（2，0，1），E（0，0，3），B（2，2，0），∴

BF

=(0，-2，1)，

EF

=(2，0，-2)…7分
设平面BEF的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • BF =0 n • EF =0

，
∴

-2y+z=0 2x-2z=0

，令z=2，则

n

=(2，1，2)．…8分
∵

AB

=(0，2，0)
∴直线AB与平面BEF所成的角θ满足sinθ=|cos＜

n

，

AB

＞|=

| n • AB |

| n || AB |

=

2

2×3

=

1

3

…10分
（3）解：点M是线段BD上一个点，设M（t，t，0），
则

AM

=(t-2，t，0)，
∵AM∥平面BEF，
∴

AM

•

n

=0，…11分
即2（t-2）+t=0，解得t=

4

3

．…12分
此时，点M坐标为(

4

3

，

4

3

，0)．…13分．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．