题目内容

过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦点F的直线l与双曲线右支相交于A、B两点，以线段AB为直径的圆被右准线截得的劣弧的弧度数为
π
3
，那么双曲线的离心率e=（　　）
A、
2
B、
3
C、2
D、
2
3
3
分析：由题意可得  EF=r cos
π
6
=
3
2
r，由直角梯形的中位线性质可得  EF=
d1+d2
2
，再由双曲线的第二定义可得  
3
2
r=
AF +BF
2e
=
2r
2e
，求得 e 的值．
解答：解：设A、B到右准线的距离分别等于 d1、d2，AB的中点为E，E到右准线的距离等于EF，圆的半径等于r，
则 由题意可得  EF=r cos
π
6
=
3
2
r，由直角梯形的中位线性质可得  EF=
d1+d2
2
，
再由双曲线的第二定义可得  
3
2
r=
AF +BF
2e
=
2r
2e
，∴e=
2
3
3
，
故选  D．
点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到
3
2
r=
AF +BF
2e
=
2r
2e
，是解题
的关键．
练习册系列答案
相关题目
过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为
 
．
给出下列命题：
①已知椭圆
x2
16
+
y2
8
=1的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是
 
．（把你认为正确命题的序号都填上）
过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一点P作一直线交双曲线C渐近线于A，B两点，且满足
AP
=λ
PB
，求△AOB的面积．
过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF的垂直平分线，则双曲线C的离心率是（　　）
过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（-2，0）、右焦点F2（2，0）分别作x轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A、B、C、D四点，且四边形ABCD的面积为16
3
．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF2为半径的圆交射线PF1于M，求点M的轨迹方程．

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