题目内容

若函数y=xlnx+a有零点，则实数a的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：利用导数求得当x= $\text{[math]}$ 时，函数取得最小值，再根据函数的最小值小于或等于零，求得实数a的取值范围．
解答：由于函数的定义域为（0，+∞），令函数的导数y′=lnx+1=0，求得x= $\text{[math]}$ ．
在（0， $\text{[math]}$ ）上，y′＜0，函数y是减函数，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上，y′＞0，函数y是增函数，故当x= $\text{[math]}$ 时，函数取得最小值．
要使函数有零点，需函数的最小值小于或等于零，即 $\text{[math]}$ •ln $\text{[math]}$ +a≤0，∴a≤ $\text{[math]}$ ，
即实数a的取值范围是 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，函数有零点的条件，属于基础题．