Question

若函数y=xlnx+a有零点，则实数a的取值范围是

(-∞，

1

e

]

．

Answer 1

分析：利用导数求得当x=

1

e

时，函数取得最小值，再根据函数的最小值小于或等于零，求得实数a的取值范围．

解答：解：由于函数的定义域为（0，+∞），令函数的导数y′=lnx+1=0，求得x=

1

e

．
在（0，

1

e

）上，y′＜0，函数y是减函数，在（

1

e

，+∞）上，y′＞0，函数y是增函数，故当x=

1

e

时，函数取得最小值．
要使函数有零点，需函数的最小值小于或等于零，即

1

e

•ln

1

e

+a≤0，∴a≤

1

e

，
即实数a的取值范围是(-∞，

1

e

]，
故答案为 (-∞，

1

e

]．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，函数有零点的条件，属于基础题．