Question

某广告公司设计一个凸八边形的商标，它的中间是一个正方形，外面是四个腰长为，顶角为的等腰三角形.
（1）若角时，求该八边形的面积；
（2）写出的取值范围，当取何值时该八边形的面积最大，并求出最大面积.

Answer 1

（1）；（2），当时，八边形的面积取最大值.

试题分析：（1）先利用结合余弦定理确定正方形的边长，然后将八边形分为一个正方形与四个等腰三角形求面积，最后将面积相加得到八边形的面积；（2）利用得到角的取值范围，利用正弦定理求出正方形的边长（利用含的代数式表示），然后利用面积公式求出八边形的面积关于的三角函数，结合降幂公式、辅助角公式将三角函数解析式进行化简，最后求出相应函数在区间的最大值.
（1）由题可得正方形边长为，
；
（2）显然，所以，

，
，，故，
，此时.