题目内容

已知α∈(0，
π
2
)，且cos2α=
4
5
．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）若β∈(
π
2
，π)，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．
（1）由cos2α=
4
5
，得1-2sin2α=
4
5
，
所以sin2α=
1
10
，又α∈(0，
π
2
)，
所以sinα=
10
10
．
因为cos2α=1-sin2α，
所以cos2α=1-
1
10
=
9
10
，
又α∈(0，
π
2
)，
所以cosα=
3
10
10
，
所以sinα+cosα=
10
10
+
3
10
10
=
2
10
5
．
（2）因为α∈(0，
π
2
)，
所以2α∈（0，π），
由已知cos2α=
4
5
，
所以sin2α=
1-cos22α
=
1-(
4
5
)2
=
3
5
，
由5sin（2α+β）=sinβ，得5（sin2αcosβ+cos2αsinβ）=sinβ，
所以5(
3
5
cosβ+
4
5
sinβ)=sinβ，即3cosβ=-3sinβ，
所以tanβ=-1，
因为β∈(
π
2
，π)，
所以β=
3π
4
．
练习册系列答案
相关题目
①已知tanα=1，α∈(0，
π
2
)，求
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(
π
4
+α)
的值；
②已知θ∈(0，
π
2
)，且sin(
π
4
+θ)=
3
2
，求sin（
π
4
+2θ）的值．
已知α∈(0，
π
2
)，tan(π-α)=-
3
4
，则sinα=
 
．
已知0≤θ＜2π，复数
i
cosθ+isinθ
＞0，则θ的值是（　　）
已知θ∈(0，
π
2
)，sinθ-cosθ=
2
2
，则cos2θ=
-
3
2
-
3
2
．
已知0≤x≤
π
2
，则函数y=cos（
π
12
-x）+cos（
5π
12
+x）的值域是
[-
2
2
，
6
2
]
[-
2
2
，
6
2
]
．

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