Question

（13分）已知抛物线与直线交于A、B两点，O为坐标原点．

（I）当k=1时，求线段AB的长；

（II）当k在R内变化时，求线段AB中点C的轨迹方程；

（III）设是该抛物线的准线．对于任意实数k，上是否存在点D，使得？如果存在，求出点D的坐标；如不存在，说明理由． 

 

Answer 1

【答案】

解：设点、分别为、，由题意得

，

∴，      　　　　　　　　　　　 　　　　　　１分

∴，．　　　　　　　　　　　　　　 　 2分

∴，

．            　　　　　　　　　　　　 　　３分

（Ⅰ）当时，，，，．

∴    　　　　　　　　　　　　　　 4分

．    　　　　　　　　　　　６分

（Ⅱ）设线段中点的坐标为，则当变化时，

， 　　　　　　　　　　　　　             7分

消去，得．

即点的轨迹方程为．　　　　　　　　　　　　　　　９分

（Ⅲ）抛物线的准线的方程为．　　　　　　　　 10分

假设在上存在一点，使，则

，．　　　　　　　　　12分

令，

得　　　①

将，，，代入①式，整理得，即，

∴．

∴对于任意实数，在上存在点，使得．          13分

【解析】略