题目内容
一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是| 2 |
| 5 |
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是
| 4 |
| 7 |
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？
分析：（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望．
（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果．
（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果．
解答：解：（1）设袋中黑球的个数为x（个），
记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，
则P(A)=
=
．
∴x=6．
设袋中白球的个数为y（个），
记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，
则P(B)=1-
=
，
∴y2-29y+120=0，∴y=5或y=24（舍）．
∴红球的个数为15-6-5=4（个）．
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是
ξ的数学期望Eξ=
×0+
×1+
×2=
=
；
（2）设袋中有黑球z个，则z=
n(n=5，10，15，）．
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，
用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出
则P(C)=1-
=
+
×
，
当n=5时，P（C）最大，最大值为
．
记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，
则P(A)=
| x |
| 15 |
| 2 |
| 5 |
∴x=6．
设袋中白球的个数为y（个），
记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，
则P(B)=1-
| ||
|
| 4 |
| 7 |
∴y2-29y+120=0，∴y=5或y=24（舍）．
∴红球的个数为15-6-5=4（个）．
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是
ξ的数学期望Eξ=
| 11 |
| 21 |
| 44 |
| 105 |
| 2 |
| 35 |
| 56 |
| 105 |
| 8 |
| 15 |
（2）设袋中有黑球z个，则z=
| 2 |
| 5 |
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，
用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出
则P(C)=1-
| ||||
|
| 16 |
| 25 |
| 6 |
| 25 |
| 1 |
| n-1 |
当n=5时，P（C）最大，最大值为
| 7 |
| 10 |
点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．
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，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；
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