Question

一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N^* ）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

2

5

．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是

4

7

，那么
①分别求袋中装有的黑球、白球和红球的个数；
②设ξ 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ 的概率分布及数学期望Eξ；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？

Answer 1

分析：（1）①本题是一个等可能事件的概率，设出袋中黑球的个数为x 个，试验发生包含的事件数是15，表示出概率，解方程即可．
②由①知随机变量ξ 的取值为0，1，2，结合第一问做出的结果，写出变量的分布列和期望值．
（2）摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，需要表示出从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球的概率，整理出关于n的表示式，根据函数的性质得到结果．

解答：解：（1）①由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设袋中黑球的个数为x 个，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，
则P(A)=

x

15

=

2

5

 
∴x=6．       
设袋中白球的个数为y （个），记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，
则P(B)=1-

C 2 15-y

C 2 15

=

4

7

 
∴y²-29y+120=0，∴y=5 或y=24 （舍）．
 即白球个数为5个．
∴红球的个数为15-6-5=4 （个）．
综上，袋中装有的黑球、白球和红球的个数分别为6，5，4．   
②由①知：随机变量ξ 的取值为0，1，2，
分布列是

ξ	0	1	2
P	11 21	44 105	2 35

∴ξ 的数学期望Eξ=

11

21

×0+

44

105

×1+

2

35

×2=

56

105

．    
（2）设袋中有黑球z 个，则z=

2

5

n(n=5，10，15，…）
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，
则P(C)=1-

C 2 3 5 n

C 2 n

=

16

25

+

6

25

×

1

n-1

，
当n=5 时，P（C） 最大，最大值为

7

10

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是对于求最值的问题，要先表示出所求的量的表示式，在根据函数的性质求出最值．