Question

计算：（1）；
（2）
（3）1+2i+3i²+…+1000i⁹⁹⁹

Answer 1

【答案】分析：利用ω³=³=1，ω+=-1，ω=1，ω²=，²=ω，|ω|=||=1，1+ω+ω²=0，1++²=0
这些性质中（ω=-+i）；（1±i）²=±2i，，解答（1）（2）．利用i的幂的周期性解答（3）．
解答：解：（1）原式=+（2-i）-
=i+2-i-（-i）
=2+i
（2）原式=
=
=
（3）解法1：原式=（1+2i-3-4i）+（5+6i-7-8i）++（997+998i-999-1000i）
=250（-2-2i）=-500-500i
=-1000=-1000
解法2：设S=1+2i+3i²++1000i⁹⁹⁹，
则iS=i+2i²+3i³++999i⁹⁹⁹+1000i¹⁰⁰⁰，
∴（1-i）S=1+i+i²++i⁹⁹⁹-1000i¹⁰⁰⁰
=-1000=-1000
∴S==-500-500i．
点评：（1）计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性．
（2）重视利用ω³=³=1，ω+=-1，ω=1，ω²=，²=ω，|ω|=||=1，1+ω+ω²=0，1++²=0
这些性质（ω=-+i）；要记住常用的数据：（1±i）²=±2i，，．
（3）充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．