题目内容

数列{an}满足，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．并证明数列{an}是单调递增数列．
【答案】分析：（1）由，我们可以给出，化简后，可得一个常数，再由，得，则易证明数列是等差数列；
（2）由（1）的结论，我们不难给出数列的通项公式，进而给出数列{an}的通项公式，判断an+1-an的符号，即可判断数列的单调性．
解答：解：（1）∵，
而，
∴数列是首项为-2，公差为-1的等差数列．
（2）由（1）得，
∴．
∵==，
∴an+1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．
练习册系列答案
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（2011•西城区二模）数列{an}满足a1=1，an+1=
n-λn+1
an，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N*，ai＞0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N*），aiai+1＜0；
③?λ∈R，m∈N*，当i＞m（i∈N*）时总有ai＜0．
其中正确的命题是
①③
①③
．（写出所有正确命题的序号）
已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，数列{an}满足a1=0，且对任意n∈N*，an=f（n），则f（2010）=（　　）
数列{an}满足an=3an-1+3n-1（n∈N*，n≥2），
已知a3=95．
（1）求a1，a2；
（2）是否存在一个实数t，使得bn=
13n
(an+t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）．又数列{an}满足，a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（an）的表达式；
（III）设bn=-
1
2f(an)
，Tn为数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得
4Tn-m
4Tn+1-m
＜
1
2
成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，f(x)=
1
f(-x)
，且f（0）=1，f（x）在R上为减函数；若数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)；
（1）求{an}通项公式；
（2）当a＞1时，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

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