Question

在等差数列{a_n}中，a₃=9，a₂、a₄、a₈成等比数列，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：设等差数列{a_n}的公差为d．因为a₂、a₄、a₈成等比数列，所以(a1+d)•(a1+7d)=(a1+3d)2．故a1d-d2=0．因为a₃=9，以a₁+2d=9．由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d．
因为a₂、a₄、a₈成等比数列，
所以a2•a8=

a

2 4

．…（2分）
所以(a1+d)•(a1+7d)=(a1+3d)2．
所以a1d-d2=0①…（4分）
因为a₃=9
所以a₁+2d=9②…（5分）
由①②得：

a1=9 d=0

或

a1=3 d=3

…（7分）
若a₁=9，d=0，则S_n=9n；…（9分）
若a₁=3，d=3，
则Sn=3n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

n2+

3

2

n．…（12分）

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．