题目内容

如图，△ABC中，点D是边BC的中点，E是边AC（靠近点C）的三等分点，则 $数学公式$ 用向量 $数学公式$ 表示为________．

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
分析：过点E作EF∥AD，交BC于F，在△ADC中利用线段成比例，可得AD=3EF，DF= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ BD．然后在△BEF中利用线段成比例，可得PD= $\text{[math]}$ EF= $\text{[math]}$ AD，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，结合D是边BC的中点，有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），即可得到本题的答案．
解答：

解：过点E作EF∥AD，交BC于F
∵△ADC中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴AD=3EF，DF= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ BD
又∵△BEF中，PD∥EF
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得PD= $\text{[math]}$ EF= $\text{[math]}$ AD，
由此可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∵D是边BC的中点， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
故答案为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
点评：本题给出出三角形的中线和一边的三等分点，求向量 $\text{[math]}$ 的线性表示式，着重考查了平面向量基本定理和平行线分线段成比例定理等知识，属于中档题．