Question

过椭圆Γ：＝1(a＞b＞0)右焦点F₂的直线交椭圆于A，B两点，F₁为其左焦点，已知△AF₁B的周长为8，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：　(1)由已知得∴b²＝a²－c²＝1，

故椭圆Γ的方程为＋y²＝1.

(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x²＋y²＝r²(0＜r＜1)．

当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t，

由消去y整理得(1＋4k²)x²＋8ktx＋4t²－4＝0.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.①

∵，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0.

又y₁＝kx₁＋t，y₂＝kx₂＋t，

∴x₁x₂＋(kx₁＋t)(kx₂＋t)＝0，

即(1＋k²)x₁x₂＋kt(x₁＋x₂)＋t²＝0.②

将①代入②得＋t²＝0，

即t²＝(1＋k²)．

∵直线PQ与圆x²＋y²＝r²相切，

∴r＝∈(0,1)，

∴存在圆x²＋y²＝满足条件．

当直线PQ的斜率不存在时，也适合x²＋y²＝.

综上所述，存在圆心在原点的圆x²＋y²＝满足条件．