Question

【题目】已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【试题分析】(1)当时,,故函数在上单调递增.当或时,利用导数求得函数的单调区间.(2) 由（Ⅰ）可知若函数存在极大值，则，且，解得， 由此求得函数的表达式.将所要证明的不等式转化为证.构造函数,利用二阶导数求得函数的最小值大于或等于零.

【试题解析】

（Ⅰ）由题意，

当时，，函数在上单调递增；

当时，函数单调递增，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增；

当时，函数单调递减，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函数存在极大值，则，且，解得， 故此时，

要证，只须证，及证即可，

设，．

，令

，所以函数单调递增，

又，，

故在上存在唯一零点，即．

所以当，， 当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，

故，

所以只须证即可，

由，得，

所以，又，所以只要即可，

当时，

所以 与矛盾，

故，得证．

（另证）

当时，

所以 与矛盾；

当时，

所以 与矛盾；

当时，

得，故 成立，

得，所以，即．