Question

【题目】已知函数，.

（1）若，证明：；

（2）若，有且只有个零点，求实数的取值范围；

（3）若，，，求正整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）2

【解析】

（1）将代入，求导后根据单调性求出函数的最大值，即可证明；

（2）由有且只有个零点，对分类讨论，得的极大值大于，得出实数的取值范围，再根据（1）验证由有且只有个零点即可；

（3）构造函数，根据，求出函数的最大值，再代入，即可得到正整数的最小值

（1）由题知，，，

所以，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

所以；

（2）因为，

当时，，在上单调递增，不可能有个零点，

当时，令，解得，

所以，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

所以，

若只有个零点，则，解得：，

由（1）知：，所以，令，

解得：或，

所以，存在，满足；

存在，满足；

所以在和上个恰有个零点，符合题意，

综上，所求实数的取值范围为；

（3）令，

所以，

，.

令，得，所以当时，，当时，.

因此函数在上是增函数，在是减函数，

所以，

令，因为，，

又因为在上是减函数，所以当时，，

所以整数的最小值为.