Question

【题目】已知函数．

（1）设时，求的导函数的递增区间；

（2）设 ，求的单调区间；

（3）若 对 恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

（3）

【解析】

（1）将代入函数，求出，即，再求出，进而求出的单调递增区间；

（2）对求导，讨论的取值范围，求出的单调区间；

（3）分离参数，不等式 对 恒成立转化为恒成立，构造新的函数，求出的最大值，从而求得的取值范围.

解：（1）

时，，

，

令，

则，

令，得，

的单调递增区间为；

（2）

，

若，则恒成立，在单调递减；

若，令，得，单调递增，

令，得，单调递减.

综上所述，

当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

（3）对恒成立可转化为恒成立，

设，，

则当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

，

，即的取值范围为.